Imagina que quieres contratar a un asistente. Como será tu mano derecha, el objetivo será encontrar al mejor entre los aplicantes, por lo que los entrevistas en orden aleatorio de uno en uno. Luego de la entrevista, debes decidir si contratarlo o no. En el primer caso la búsqueda terminaría, pero puede que te preguntes ¿era esta la mejor opción?, aunque si no lo contratas, entonces el tomará otro empleo y se habrá ido para siempre.
Este y otros problemas sobre cómo elegir un departamento, encontrar el mejor lugar de estacionamiento e incluso elegir pareja son generalizados en el problema de la secretaria. En cualquiera de los problemas de esta índole -parado óptimo-, la mayor interrogante no es cual opción elegir, sino más bien cuantas opciones considerar, ¿cierto?
El problema de la secretaria
Fue el matemático Merril Flood quien hizo el primer planteamiento del problema, además de popularizar el problema del vendedor viajero y quien se jacta de acuñar el ubicuo término software. También fue el mismo quien propuso la primera solución – la regla del 37%, que más tarde se generalizaría. La notoriedad y variaciones de este problema lo han convertido es uno de los algoritmos para la vida diaria más importante.
No me culpen por llamarlo el problema de la secretaria, ya que en los tiempos en que se propuso el título era común entre los ejecutivos masculinos tener una asistente femenina. Seguramente hoy en día tendría otro nombre, ¿se les ocurre alguno?
¿De dónde viene 37%?
Cuando buscamos a nuestro asistente podemos fallar de dos maneras; nos detenemos antes o demasiado tarde.
Si lo hacemos antes, entonces podemos dejar al mejor prospecto sin descubrir, pero si lo hacemos después puede que esperemos por un mejor aplicante que nunca llegará. La mejor estrategia supondrá una que balancee el buscar demasiado y el rascar la superficie.
Pues bien, la solución óptima puede resumirse en la frase «look-then-leap» (Mira, entonces salta).
La primera fase consiste en asignar un periodo de tiempo para explorar la información, mirar las diferentes opciones en las cuales no te quedas con ninguna de ellas sin importar que tan impresionante parezcan. Luego llegamos a la fase de saltar, donde nos quedamos con el primer aplicante que supere a los vistos en la fase de búsqueda.
Lo anterior surge de lo siguiente: si solo tenemos un aplicante, lo contrataremos automáticamente. En caso de tener dos, existen 50% de probabilidades de elegir el mejor hagamos lo que hagamos. Cuando tenemos tres, las cosas se ponen más interesantes:
| Primero | Segundo | Tercero | Éxito |
| 100 | 50 | 25 | No |
| 100 | 25 | 50 | No |
| 50 | 100 | 25 | Sí |
| 50 | 25 | 100 | Sí |
| 25 | 100 | 50 | Sí |
| 25 | 50 | 100 | No |
Bajo este método, tenemos un 50% de probabilidades de tener al mejor participante de tres. Este puede extenderse aún más:
| Aplicantes | Tomar el mejor luego de | Éxito con la estrategia | Éxito al azar |
| 3 | 1 | 50 | 33.3333333 |
| 4 | 1 | 45.83 | 25 |
| 5 | 2 | 43.33 | 20 |
| 6 | 2 | 42.78 | 16.6666667 |
| 7 | 3 | 41.43 | 14.2857143 |
| 8 | 3 | 40.98 | 12.5 |
| 9 | 3 | 40.59 | 11.1111111 |
| 10 | 4 | 39.87 | 10 |
| 20 | 7 | 38.42 | 5 |
| 30 | 11 | 37.86 | 3.33333333 |
| 40 | 15 | 37.57% | 2.5 |
| 50 | 18 | 37.43% | 2 |
| 100 | 37 | 37.1 | 1 |
| 1000 | 368 | 36.81 | 0.1 |
A medida que el número de participantes aumenta, nuestras probabilidades de encontrar al mejor aplicante convergen a 36.78%. Y no es que me haya puesto a hacer a mano cada una de las situaciones posibles, es mucho mejor y recomiendo que se sujeten de algo cuando sepan que ¡este valor no es nada más y nada menos que una función de e!.
El número de Euler ha hecho de las suyas, la explicación pueden encontrarla por acá. Así que en caso de que nos encontremos una situación del problema de la secretaria, la idea matemáticamente óptima es dividir el número de participantes(N) entre e para así observar los primeros N/e casos, listos para quedarnos con el primero que sea superior a los ya vistos.
Es decir, si tuviéramos un millón de asistentes para entrevistar, podríamos entonces valorar a los primeros 367,879 y considerar contratar del 367,880 en adelante si es mejor que los anteriores con probabilidad de casi 37% de que sea el mejor candidato. No obstante, parece que 37% es una baja probabilidad, pero mucho muy superior a 0.000001% de elegirlo al azar.
De la e al altar
Algunas personas pensamos en tener una pareja estable alguna vez en la vida y para ello hay algunas condiciones. Repasemos: Tenemos una vacante para llenar(pareja) y una serie de aplicantes que valoraremos de uno en uno (no creo que les guste la no-exclusividad) y queremos quedarnos con el mejor posible. ¡Ya está, problema de la secretaria!
No sabemos cuántas parejas tendremos en la vida, pero si podemos estimar el tiempo en el cual buscaremos. Digamos que lo haremos desde los 18 años hasta los 40. Entonces aplicando la regla resulta que a partir de los 26.1 (18 + (40-18)/e) años pasamos de buscar a asentar. Aquí ingresa otra variante del problema, ¿qué tal si dice que no?
Si hacemos un análisis como el que resultó en 37%, asumiendo que la probabilidad de que acepte o rechace la propuesta es un 50/50, entonces tenemos que hacer ofertas a un cuarto de la búsqueda para obtener el mejor fiancé en el 25% de los casos.
Las relaciones humanas son complejas y puede que, en una de esas, nos sea posible volver con una de las parejas descartadas luego de entonar «Solamente una vez» bajo de su balcón.
Tomamos en cuenta el escenario donde una propuesta a la pareja en turno siempre será aceptada, pero a una pareja descartada tiene 50% de ser rechazada. Bajo las premisas anteriores, los números nos indican buscar sin comprometernos hasta ver el primer 61% de los aplicantes y proponernos al primero de los 39% restantes que sea mejor que los ya vistos. Si después de todo no encontramos nuestra media naranja, regresamos con nuestro mejor match anterior acompañados de mariachi y rosas.
La regla del umbral
En las variantes ya vistas hay un detalle que se nos escapa: una rúbrica. Cuando entrevistamos a un aplicante, no sabemos más que como se comparan la una con la otra, y eso a medias, ya que tampoco sabemos que tanto mejor es uno sobre el otro.
Es por eso que primero tomamos la fase de observación, donde calibraremos nuestras expectativas y estándares. Este concepto matemático se conoce como juego de información imperfecta.
El resultado es muy diferente en los juegos de información perfecta, donde no necesitamos la experiencia para definir un estándar y es posible tomar una decisión acertada con base en la información de una evaluación.
Si a cada aplicante le aplicamos una prueba de manejo de suite ofimática e inglés, tendremos exámenes con resultados de 70/100, 80/100, 95/100, etc. Ahora las probabilidades de que hallemos un candidato mejor que nuestro 95/100 son de 1 en 20 entre los restantes, invirtiendo el juego.
Ya no necesitamos ver y descartar candidatos antes de tomar la decisión si ya contamos con cierta puntuación mínima para aceptarlos, o regla del umbral.
Como decíamos, invirtiendo el proceso podremos ver mejor los resultados: Cuando nos encontramos ante el último aplicante, entonces debemos contratarlo. El penúltimo aplicante, ¿es mejor que al menos la mitad del total? Si lo es, lo contratamos. En caso de que no, pasamos al anterior debido a que también nos jugamos un 50/50 de ser mejor y así sucesivamente:
Al final, los chances de obtener el mejor aplicante son de 58%.
¿Cuándo debería vender mi departamento?
De las nupcias a los bienes raíces no hay un gran trecho hablando de parado óptimo. Has decidido vender tu departamento por lo que decides darle una manita de gato; limpieza a fondo, una nueva capa de pintura, mover cosas personales, entre otros… y llegan las ofertas, donde eliges si aceptar el trato o esperar por otro mejor.
A diferencia de los casos anteriores, este tiene un costo de rechazo más visible; hay que pagar por la limpieza, impuestos y servicios mientras la siguiente propuesta de negocios llega con la incertidumbre de si valdrá la pena.
Este es un juego con información perfecta: conocemos el valor del dinero de los oferentes, lo cual está estandarizado en una moneda, y con ello que tanto más beneficioso es uno contra el otro. También podemos saber el rango de precios a esperar si vemos que un vecino cercano también ofrece una propiedad similar.
La diferencia es que no esperamos asegurar la mejor oferta por sí sola, más bien obtener la mayor cantidad de dinero del proceso completo. Una buena oferta hoy es preferible a una poco mejor en unos meses.
Si esperamos recibir entre $400k-$500k dólares, los números son los siguientes:
Conclusión
Lo notemos o no, las situaciones de parado óptimo son cosa de todos los días: contratar a alguien, encontrar pareja, vender un bien o estacionarnos. A pesar de que los algoritmos nos asisten y dan un indicador de probabilidad aceptable, nos mostramos impacientes debido al costo que acarrea la elección: tiempo.
Mientras buscamos al postulante perfecto, no tenemos quien cubra su vacante y, es más, entrevistamos personas en lugar de tener el trabajo hecho. Como personas, también nos aburrimos luego de buscar un rato y es un hecho más complicado de modelar. Pero eso no le quita sentido a los problemas de parado óptimo, al contrario, los hace más importantes porque el flujo del tiempo convierte todas las decisiones en problemas de este tipo.
Podemos decir que el parado óptimo es en realidad elegir un tiempo para realizar una acción. Decidimos el momento adecuado para comprar acciones del Dow Jones y para venderlas; el momento para abrir ese vino Gran Reserva 890 que tanto hemos guardado, o más cotidianamente para interrumpir a alguien o animarse a darle un beso a esa persona especial.
El tiempo no espera a nadie: cada oportunidad que dejamos pasar se ha ido para siempre y, aun suponiendo que hallamos una similar, nunca otra será exactamente igual a la anterior. En nuestra mente suena más sencillo: para tomar la elección óptima debemos enumerar todas nuestras opciones, valorando cada una cuidadosamente y elegir la mejor. Pero en la práctica, cuando el reloj hace tic-toc, el aspecto más importante de tomar decisiones es uno: cuando dejar de considerarlas.
Para saber más, no olvides consultar:
[…] Algoritmos para optimizar tu vida: Parado óptimo […]